Упр.6.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 144). Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как $$5:2$$, а гипотенуза треугольника равна $$45\ \text{см}$$?
Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$, $$AB=BC$$, $$AC=45$$ см. Обозначим вписанный прямоугольник через $$FEA_1C_1$$.
Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный, то
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AFC_1$$. В нём $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle A=45^\circ$$, значит $$\angle C_1=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AFC_1$$ равнобедренный, поэтому
$$AF=FC_1.$$
Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$CEA_1$$ имеем $$\angle E=90^\circ$$ и $$\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle A_1=45^\circ$$, откуда
$$CE=EA_1.$$
Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$2x$$, тогда большая равна $$5x$$. По равенству отрезков получаем:
$$FC_1=EA_1=2x,\qquad FE=C_1A_1=5x.$$
Тогда
$$AC=AF+FE+EC=FC_1+FE+EA_1=2x+5x+2x=9x.$$
Так как $$AC=45$$ см, то
$$9x=45,\qquad x=5.$$
Следовательно, стороны прямоугольника равны
$$2x=10\text{ см},\qquad 5x=25\text{ см}.$$
Ответ: $$10$$ см и $$25$$ см.
