Упр.15.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна $$4\ \text{см}$$. Стороны оснований равны $$2\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Найдите площади диагональных сечений.

Так как пирамида правильная, её основания — квадраты. Диагональное сечение проходит через диагонали оснований и высоту усечённой пирамиды, поэтому оно является трапецией.

Найдём диагонали оснований.

Для большего квадрата со стороной $$8$$ см:

$$AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\text{ см}.$$

Для меньшего квадрата со стороной $$2$$ см:

$$A_1C_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ см}.$$

Высота трапеции равна высоте усечённой пирамиды:

$$h=4\text{ см}.$$

Тогда площадь диагонального сечения:

$$S=\frac{AC+A_1C_1}{2}\cdot h =\frac{8\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot 4 =\frac{10\sqrt{2}}{2}\cdot 4 =20\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$20\sqrt{2}\text{ см}^2$$.