Упр.13.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?
Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Тогда углы при каждом основании равны:
$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$
Следовательно,
$$\angle A+\angle C=\angle D+\angle B.$$
Но в трапеции $$AD\parallel BC$$, значит сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $$180^\circ$$. Поэтому
$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$
А значит, и
$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$
Итак, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ABCD$$ равна $$180^\circ$$, следовательно, около равнобокой трапеции можно описать окружность.
Теперь докажем обратное. Пусть около трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ можно описать окружность. Тогда для вписанного четырёхугольника
$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$
Так как $$AD\parallel BC$$, то при секущей $$CD$$ имеем
$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$
Сравнивая эти равенства, получаем
$$\angle A=\angle D.$$
Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AD$$ через $$E$$. Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит
$$AB=CE.$$
Кроме того, так как $$CE\parallel AB$$, то
$$\angle CED=\angle A.$$
Но $$\angle A=\angle D$$, значит
$$\angle CED=\angle D.$$
Следовательно, треугольник $$CED$$ равнобедренный, поэтому
$$CE=CD.$$
Тогда
$$AB=CE=CD,$$
то есть боковые стороны трапеции равны. Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобокая.
Ответ: да, около равнобокой трапеции можно описать окружность; и наоборот, если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.
