Упр.11.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ с острым углом $$C$$ проведены высоты $$AE$$ и $$BD$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$EDC$$.

Рассмотрим треугольники $$BDC$$ и $$AEC$$.

Так как $$BD$$ и $$AE$$ — высоты, то

$$\angle BDC=\angle AEC=90^\circ.$$

Кроме того, угол $$C$$ у этих треугольников общий. Значит, $$\triangle BDC \sim \triangle AEC$$ по двум углам.

Отсюда получаем пропорцию соответствующих сторон:

$$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}.$$

Следовательно,

$$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EDC$$. У них угол $$C$$ общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны:

$$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle EDC$$ по двум сторонам и углу между ними.