Упр.14.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: боковые стороны треугольника равны 30 см и 25 см;
Найти: высоту, опущенную на основание, равное 1) 25 см; 2) 11 см;
Решение:
Пусть a=30 см и b=25 см-данные боковые стороны, c-основание,
а hc-искомая высота, опущенная на сторону c;
По доказанному в предыдущей задаче:
hc=(2v(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c, где p=(a+b+c)/2-полупериметр;
1) Если c=25 см, тогда:
p=(30+25+25)/2=80/2=40 см;
hc=(2v(40•(40-30)•(40-25)•(40-25) ))/25=(2v(40•10•15•15))/25=
=(2•15•v(4•10•10))/25=(30•2•10)/25=600/25=24 см;
2) Если c=11 см, тогда:
p=(30+25+11)/2=66/2=33 см;
hc=(2v(33•(33-30)•(33-25)•(33-11) ))/11=(2v(33•3•8•22))/11=
=(2v(3•11•3•2•4•2•11))/11=(2•3•11•2•2)/11=24 см;
Ответ: 24 см; 24 см.

Подробный ответ

Обозначим боковые стороны треугольника через $$a=30\text{ см}$$ и $$b=25\text{ см}$$, а основание — через $$c$$. Высоту, опущенную на сторону $$c$$, обозначим через $$h_c$$.

Используем формулу, полученную в предыдущей задаче:

$$h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

1) Если $$c=25\text{ см}$$, то

$$p=\frac{30+25+25}{2}=\frac{80}{2}=40\text{ см}.$$

Тогда

$$ h_c=\frac{2\sqrt{40\cdot(40-30)\cdot(40-25)\cdot(40-25)}}{25} =\frac{2\sqrt{40\cdot10\cdot15\cdot15}}{25}. $$

$$ h_c=\frac{2\cdot15\cdot\sqrt{4\cdot10\cdot10}}{25} =\frac{30\cdot20}{25} =\frac{600}{25}=24\text{ см}. $$

2) Если $$c=11\text{ см}$$, то

$$p=\frac{30+25+11}{2}=\frac{66}{2}=33\text{ см}.$$

Тогда

$$ h_c=\frac{2\sqrt{33\cdot(33-30)\cdot(33-25)\cdot(33-11)}}{11} =\frac{2\sqrt{33\cdot3\cdot8\cdot22}}{11}. $$

$$ h_c=\frac{2\sqrt{3\cdot11\cdot3\cdot2\cdot4\cdot2\cdot11}}{11} =\frac{2\cdot3\cdot11\cdot2\cdot2}{11}=24\text{ см}. $$