Упр.11.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в треугольнике ABC с острым углом C проведены высоты AE и BD;
Доказать: треугольники ABC и EDC подобны;
Доказательство:
Возможны два случая:
1) Рассмотрим треугольники BDC и AEC:
угол BDC = углу AEC=90° и угол C-общий, значит треугольники BDC и AEC
подобны по двум углам, отсюда:
BC/AC=CD/CE = > BC/CD=AC/CE;
2) Рассмотрим треугольники ABC и EDC:
BC/CD=AC/CE и угол C-общий, значит треугольники ABC и EDC подобны по
двум сторонам и углу между ними, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$BDC$$ и $$AEC$$. Так как $$BD$$ и $$AE$$ — высоты, то

$$\angle BDC=90^\circ,\qquad \angle AEC=90^\circ.$$

Кроме того, угол $$C$$ у этих треугольников общий. Значит, $$\triangle BDC \sim \triangle AEC$$ по двум углам.

Из подобия получаем пропорцию соответствующих сторон:

$$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}.$$

Отсюда

$$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EDC$$. У них угол $$C$$ общий, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны:

$$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CE}.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle EDC$$ по двум сторонам и углу между ними.