Упр.7.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов $$A$$ и $$B$$ была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 166, а); 2) пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 166, б).

Подробный ответ

Если пункты $$A$$ и $$B$$ расположены по разные стороны от шоссе, то нужно провести отрезок $$AB$$. Точка его пересечения с прямой шоссе и будет искомым местом остановки.

Действительно, отрезок $$AB$$ — кратчайшее расстояние между точками $$A$$ и $$B$$. Поэтому для любой точки $$M$$ на шоссе сумма $$AM+MB$$ наименьшая именно тогда, когда $$M$$ лежит на отрезке $$AB$$. Значит, остановку надо поставить в точке пересечения шоссе с отрезком $$AB$$.

Если пункты $$A$$ и $$B$$ расположены по одну сторону от шоссе, построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно шоссе: опустим из $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ к шоссе и отложим на его продолжении $$HB’=BH$$. Тогда для любой точки $$M$$ на шоссе имеем $$MB=MB’$$, а значит

$$AM+MB=AM+MB’.$$

Следовательно, нужно найти точку пересечения шоссе с отрезком $$AB’$$. Для этой точки сумма расстояний $$AM+MB$$ будет наименьшей.

Ответ: если $$A$$ и $$B$$ по разные стороны от шоссе — в точке пересечения шоссе с $$AB$$; если по одну сторону — в точке пересечения шоссе с $$AB’$$, где $$B’$$ симметрична $$B$$ относительно шоссе.