Упр.5.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Пусть даны отрезки $$a$$, $$m$$ и $$r$$, где $$a$$ — сторона треугольника, $$m$$ — медиана к этой стороне, $$r$$ — радиус описанной окружности.

1. Построим произвольный отрезок $$BC=a$$.
2. Построим середину $$M$$ отрезка $$BC$$. Для этого из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности радиуса $$a$$. Через точки их пересечения проведём прямую; она пересечёт отрезок $$BC$$ в точке $$M$$. Тогда $$M$$ — середина $$BC$$.
3. Проведём окружность с центром в $$M$$ радиуса $$m$$.
4. Из точки $$M$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$BC$$ и отметим на нём точку $$O$$ так, чтобы $$OM=r$$. Тогда $$O$$ — центр описанной окружности искомого треугольника.
5. Проведём окружность с центром в $$O$$ радиуса $$r$$.
6. Точку $$A$$ найдём как пересечение окружностей с центрами $$M$$ и $$O$$ радиусов соответственно $$m$$ и $$r$$.
7. Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Треугольник $$ABC$$ — искомый, так как $$BC=a$$, $$AM=m$$, а точка $$O$$ равноудалена от $$A$$, $$B$$ и $$C$$, следовательно, $$OA=OB=OC=r$$.

Ответ

Построение выполнено.