Упр.4.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?

Пусть прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а прямая $$BC$$ пересекает их в точках $$B$$ и $$C$$. Проведём биссектрисы $$BM$$ и $$CM$$ углов $$\angle ABC$$ и $$\angle BCD$$.

Тогда

$$\angle MBC=\frac{1}{2}\angle ABC,\qquad \angle BCM=\frac{1}{2}\angle BCD.$$

Так как $$AB \parallel CD$$, то внутренние односторонние углы при секущей $$BC$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle ABC+\angle BCD=180^\circ.$$

Подставим половины этих углов:

$$2\angle MBC+2\angle BCM=180^\circ,$$

$$2(\angle MBC+\angle BCM)=180^\circ,$$

$$\angle MBC+\angle BCM=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BCM$$. В нём

$$\angle BMC=180^\circ-(\angle MBC+\angle BCM)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Значит, биссектрисы двух внутренних односторонних углов пересекаются под прямым углом.

Ответ: под прямым углом, то есть $$90^\circ$$.