Упр.15.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

По данной стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Пусть $$AB$$ — сторона основания, $$O$$ — центр основания, $$P$$ — вершина пирамиды. Тогда $$AB=a$$, $$PA=b$$, а $$PO=h$$ — высота пирамиды.

В правильной пирамиде вершина $$P$$ равноудалена от всех вершин основания, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через центр $$O$$. Поэтому треугольник $$AOP$$ прямоугольный, и

$$h^2=PA^2-AO^2.$$

Найдём $$AO$$ — радиус описанной около основания окружности. Для правильного $$n$$-угольника

$$AO=R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Тогда

$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1. Для правильной треугольной пирамиды $$n=3$$:

   $$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.$$

2. Для правильной четырёхугольной пирамиды $$n=4$$:

   $$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}.$$

3. Для правильной шестиугольной пирамиды $$n=6$$:

   $$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot\left(\frac12\right)^2}}=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Ответ: 1) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$$; 2) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}$$; 3) $$\sqrt{b^2-a^2}$$.