Упр.14.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Боковые стороны треугольника $$30\ \text{см}$$ и $$25\ \text{см}$$. Найдите высоту, опущенную на основание, равное: 1) $$25\ \text{см}$$; 2) $$11\ \text{см}$$.
Обозначим боковые стороны треугольника через $$a=30$$ см и $$b=25$$ см, основание — через $$c$$, а высоту, опущенную на это основание, — через $$h_c$$.
По формуле Герона площадь треугольника равна
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$
где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр. С другой стороны,
$$S=\frac{1}{2}ch_c,$$
значит,
$$h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}.$$
1) Если $$c=25$$ см, то
$$p=\frac{30+25+25}{2}=40.$$
Тогда
$$h_c=\frac{2\sqrt{40\cdot(40-30)\cdot(40-25)\cdot(40-25)}}{25} =\frac{2\sqrt{40\cdot10\cdot15\cdot15}}{25}.$$
$$40\cdot10\cdot15\cdot15=40\cdot10\cdot225=90000,$$
поэтому
$$h_c=\frac{2\sqrt{90000}}{25}=\frac{2\cdot300}{25}=24\text{ см}.$$
2) Если $$c=11$$ см, то
$$p=\frac{30+25+11}{2}=33.$$
Тогда
$$h_c=\frac{2\sqrt{33\cdot(33-30)\cdot(33-25)\cdot(33-11)}}{11} =\frac{2\sqrt{33\cdot3\cdot8\cdot22}}{11}.$$
$$33\cdot3\cdot8\cdot22=3\cdot11\cdot3\cdot8\cdot22 =3\cdot3\cdot8\cdot22\cdot11,$$
и после извлечения корня получаем
$$h_c=\frac{2\cdot132}{11}=24\text{ см}.$$
Ответ: $$24\text{ см};\ 24\text{ см}.$$
