Упр.13.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.

Подробный ответ

Пусть дана окружность с центром $$O$$. Построим сначала правильный шестиугольник, вписанный в эту окружность: его сторона равна радиусу окружности, а центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$. Для этого на окружности последовательно откладываем хорды, равные радиусу, и получаем вершины $$B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$$.

Далее используем свойство: если через вершину правильного многоугольника провести прямую, перпендикулярную радиусу, соединяющему центр с этой вершиной, то эта прямая будет касательной к окружности в данной точке. Пересечения таких касательных дают вершины правильного многоугольника, описанного около окружности.

1. Правильный треугольник

Возьмём через точки $$B_1,B_3,B_5$$ прямые, перпендикулярные соответственно радиусам $$OB_1, OB_3, OB_5$$. Эти три прямые попарно пересекутся в точках $$A_1,A_2,A_3$$.

Тогда $$A_1A_2A_3$$ — правильный треугольник, описанный около окружности.

2. Квадрат

Построим диаметр $$A_1C_1$$ окружности и через центр $$O$$ проведём к нему перпендикуляр. Он пересечёт окружность в точках $$B_1$$ и $$D_1$$. Четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат, вписанный в окружность.

Через каждую его вершину проведём прямую, перпендикулярную радиусу, соединяющему эту вершину с центром окружности. Точки пересечения этих прямых обозначим $$A,B,C,D$$. Тогда $$ABCD$$ — квадрат, описанный около окружности.

3. Правильный восьмиугольник

Построим правильный вписанный четырёхугольник $$B_1B_3B_5B_7$$. Для сторон $$B_1B_3$$ и $$B_3B_5$$ построим серединные перпендикуляры и отметим на окружности точки $$B_2,B_4,B_6,B_8$$.

Получим правильный восьмиугольник $$B_1B_2B_3B_4B_5B_6B_7B_8$$, вписанный в окружность. Через каждую его вершину проведём прямую, перпендикулярную радиусу, соединяющему эту вершину с точкой $$O$$. Точки пересечения соседних таких прямых обозначим $$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8$$.

Тогда $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$$ — правильный восьмиугольник, описанный около окружности.