Упр.6.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: из одной точки окружности проведены две взаимно перпенди-
кулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и на 10 см;
Найти: длины этих хорд;
Решение:
1) Пусть AB и AC-данные хорды, точка O-центр окружности, а
отрезки OM и ON-расстояния от центра до хорд, тогда:
OM=10 см, ON=6 см, OM перпендикулярен AB и ON перпендикулярен AC;
2) Так как прямые OM и ON проходят через центр окружности, то
они лежат на ее диаметре, значит: BM=MA и AN=NC;
3) Рассмотрим четырехугольник OMAN:
угол M = углу A = углу N=90°, значит угол O=360°-3•90°=90°, следовательно
он является прямоугольником, отсюда: AN=OM=10 см и
AM=ON=6 см;
4) BA=BM+MA=2MA=12 см и AC=AN+NC=2AN=20 см;
Ответ: 12 см и 20 см.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ и $$AC$$ — данные хорды, $$O$$ — центр окружности. Обозначим через $$M$$ и $$N$$ основания перпендикуляров, опущенных из центра на хорды $$AB$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда

$$OM=10\text{ см},\quad ON=6\text{ см},\quad OM\perp AB,\quad ON\perp AC.$$

Так как перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам, то

$$BM=MA,\quad AN=NC.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$OMAN$$. У него

$$\angle OMA=\angle ONA=\angle MAN=90^\circ,$$

значит, $$OMAN$$ — прямоугольник. Тогда противоположные стороны равны:

$$AN=OM=10\text{ см},\quad AM=ON=6\text{ см}.$$

Теперь найдём длины хорд:

$$AB=BM+MA=2MA=2\cdot 6=12\text{ см},$$

$$AC=AN+NC=2AN=2\cdot 10=20\text{ см}.$$