Упр.6.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на $$6\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$. Найдите их длины.

Пусть $$AB$$ и $$AC$$ — данные хорды, $$O$$ — центр окружности. Обозначим через $$M$$ и $$N$$ основания перпендикуляров из центра на хорды $$AB$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда

$$OM=10\text{ см},\quad ON=6\text{ см},\quad OM\perp AB,\quad ON\perp AC.$$

Так как перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам, то

$$BM=MA,\quad AN=NC.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$OMAN$$. У него

$$\angle OMA=\angle ONA=90^\circ,$$

а также $$\angle MAN=90^\circ$$, так как хорды $$AB$$ и $$AC$$ взаимно перпендикулярны. Значит, $$OMAN$$ — прямоугольник. Тогда противоположные стороны равны:

$$MA=ON=6\text{ см},\quad AN=OM=10\text{ см}.$$

Теперь найдём длины хорд:

$$AB=2\cdot MA=2\cdot 6=12\text{ см},$$

$$AC=2\cdot AN=2\cdot 10=20\text{ см}.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$ и $$20\text{ см}$$.