Упр.14.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Стороны треугольника $$a$$, $$b$$, $$c$$. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону $$c$$.

Пусть $$h_c$$ — искомая высота треугольника, опущенная на сторону $$c$$.

По формуле Герона площадь треугольника равна

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

С другой стороны, площадь можно выразить через основание $$c$$ и высоту $$h_c$$:

$$S=\frac{1}{2}ch_c.$$

Приравниваем эти выражения:

$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{2}ch_c.$$

Отсюда

$$h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}.$$

Так как $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, то можно записать и так:

$$h_c=\frac{2S}{c}.$$

Ответ

$$h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$