Упр.7.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке O;
Доказать: расстояние от любой точки плоскости до конов этого отрезка
не меньше, чем OA+OB+OC+OD;
Доказательство:
1) Пусть X-произвольная точка на плоскости;
2) По неравенству треугольника для точек A, B, X: XA+XB > =AB;
3) По неравенству треугольника для точек C, D, X: XC+XD > =CD;
4) Сложим эти неравенства межу собой: XA+XB+XC+XD > =AB+CD;
5) AB=OA+OB и CD=OC+OD, следовательно:
XA+XB+XC+XD > =OA+OB+OC+OD, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — произвольная точка плоскости.

По неравенству треугольника для треугольника $$AXB$$ имеем:

$$XA+XB\ge AB.$$

Аналогично, для треугольника $$CXD$$:

$$XC+XD\ge CD.$$

Сложим эти неравенства:

$$XA+XB+XC+XD\ge AB+CD.$$

Так как отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то

$$AB=OA+OB,\qquad CD=OC+OD.$$

Тогда

$$XA+XB+XC+XD\ge OA+OB+OC+OD.$$