Вопрос 3 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите теорему Пифагора.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACD$$:

$$\cos A=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$$

откуда

$$AB\cdot AD=AC^2.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$BCD$$:

$$\cos B=\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$$

откуда

$$AB\cdot BD=BC^2.$$

Сложим полученные равенства:

$$AB\cdot AD+AB\cdot BD=AC^2+BC^2$$

$$AB\cdot(AD+BD)=AC^2+BC^2.$$

Но $$AD+BD=AB$$, значит

$$AB\cdot AB=AC^2+BC^2,$$

то есть

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Следовательно, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора доказана.