Вопрос 3 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: если внутренние накрест лежащие углы равны, то внут-
ренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма
внутренних одностронних углов каждой пары равна 180°;
Доказательство:
1) Пусть прямая OO1 пересекает прмые AB и CD в точках O и O1
соответственно, а углы BOO1 и CO1 O равны;
2) Сумма смежных углов равна 180°, значит углы AOO1 и OO1 D
также равны (так как они являются смежными углами равных углов);
3) Так как угол BOO1+ угол AOO1=180° и угол AOO1 = углу OO1 D, то
угол BOO1+ угол OO1 D=180°;
4) Так как угол CO1 O+ угол OO1 D=180° и угол AOO1 = углу OO1 D, то
угол CO1 O+ угол AOO1=180°;
5) Таким образом, сумма внутренних одностронних углов каждой
пары равна 180°, что и требовалось доказать.

Пусть прямая $$OO_1$$ пересекает прямые $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$O$$ и $$O_1$$ соответственно, причём внутренние накрест лежащие углы $$\angle BOO_1$$ и $$\angle CO_1O$$ равны.

Тогда смежные с ними углы $$\angle AOO_1$$ и $$\angle OO_1D$$ также равны, так как смежные углы к равным углам равны.

Из равенства $$\angle BOO_1=\angle CO_1O$$ и того, что $$\angle BOO_1+\angle AOO_1=180^\circ$$, получаем:

$$\angle CO_1O+\angle AOO_1=180^\circ.$$

Аналогично, из $$\angle CO_1O+\angle OO_1D=180^\circ$$ и $$\angle OO_1D=\angle AOO_1$$ следует:

$$\angle BOO_1+\angle OO_1D=180^\circ.$$

Следовательно, внутренние односторонние углы каждой пары в сумме дают $$180^\circ$$, а внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.

Ответ

Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна $$180^\circ$$.