Вопрос 3 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$AB=a$$, а высота, проведённая к стороне $$AB$$, равна $$h$$.

Если параллелограмм не является прямоугольником, то один из его углов $$A$$ или $$B$$ острый; пусть, например, $$\angle A$$ — острый.

Опустим перпендикуляр $$AE$$ из вершины $$A$$ на прямую $$CD$$, а из вершины $$B$$ — перпендикуляр $$BF$$ на ту же прямую. Тогда четырёхугольник $$ABFE$$ — прямоугольник, а площадь трапеции $$ABCE$$ можно представить двумя способами:

$$S_{ABCE}=S_{ABCD}+S_{ADE}$$

и

$$S_{ABCE}=S_{ABFE}+S_{BCF}.$$

Так как $$AE$$ и $$BF$$ — расстояния между параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$, то

$$AE=BF=h.$$

Рассмотрим параллельные прямые $$AD$$ и $$BC$$ и секущую $$DC$$. Тогда

$$\angle ADE=\angle BCF$$

как соответственные углы. Следовательно, прямоугольные треугольники $$ADE$$ и $$BCF$$ равны по катету и острому углу, значит, их площади равны:

$$S_{ADE}=S_{BCF}.$$

Тогда из равенства площадей трапеции получаем:

$$S_{ABCD}=S_{ABFE}.$$

Но $$ABFE$$ — прямоугольник, поэтому

$$S_{ABFE}=AB\cdot BF=a\cdot h.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=a\cdot h.$$

Что и требовалось доказать.