Вопрос 3 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите теорему синусов.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ стороны обозначены так: $$a=BC,$$ $$b=CA,$$ $$c=AB,$$ а противолежащие им углы — $$\alpha,\ \beta,\ \gamma.$$ Докажем, что

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на сторону $$AB$$.

Если угол $$A$$ острый, то точка $$D$$ лежит на отрезке $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$ACD$$

$$\sin \alpha=\frac{CD}{CA}=\frac{CD}{b},$$

откуда

$$CD=b\sin \alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$BCD$$

$$\sin \beta=\frac{CD}{CB}=\frac{CD}{a},$$

откуда

$$CD=a\sin \beta.$$

Следовательно,

$$a\sin \beta=b\sin \alpha,$$

то есть

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Аналогично, проводя высоту из другой вершины, получаем

$$\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Итак,

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma},$$

что и требовалось доказать.