Упр.5.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: диаметр окружности, проходящий через середину хорды,
перпендикулярен хорде;
Доказательство:
1) Пусть AB-хорда окружности, а точка C-ее середина;
2) Треугольник AOB равнобедренный (AO=OB=r) и OC-его
медиана (так как C-середина отрезка AB), значит OC является и
его высотой, то есть отрезки OC и AB перпендикулярны;
3) Так как отрезок OC принадлежит диаметру окружности, то
диаметр окружности перпендикулярен хорде AB, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — хорда окружности, а $$C$$ — её середина. Обозначим центр окружности через $$O$$.

Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, значит треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

Так как $$C$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OC$$ является медианой треугольника $$AOB$$, проведённой к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, следовательно,

$$OC \perp AB.$$

Но отрезок $$OC$$ лежит на диаметре окружности, проходящем через середину хорды $$AB$$. Значит, этот диаметр перпендикулярен хорде $$AB$$.