Упр.6.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на $$4\ \text{см}$$ дальше, чем от большей. Периметр прямоугольника $$56\ \text{см}$$. Найдите стороны прямоугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, причём $$BC>AB$$. Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей, а через $$M,\,M_1,\,N,\,N_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на стороны прямоугольника.

Пусть точка $$O$$ отстоит от меньшей стороны на $$x$$ см, тогда от большей стороны она отстоит на $$x+4$$ см. Значит,

$$ON=ON_1=x,\qquad OM=OM_1=x+4.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$ABNN_1$$. У него все углы прямые, значит, это прямоугольник. Тогда

$$AB=NN_1=NO+ON_1=x+x=2x.$$

Аналогично, четырёхугольник $$BCMM_1$$ — прямоугольник, поэтому

$$BC=MM_1=MO+OM_1=(x+4)+(x+4)=2x+8.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P=2(AB+BC)=2\bigl(2x+(2x+8)\bigr)=8x+16.$$

По условию $$P=56$$, значит,

$$8x+16=56,$$

$$8x=40,$$

$$x=5.$$