Упр.4.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
В треугольнике $$ABC$$ проведены биссектрисы из вершин $$A$$ и $$B$$. Точка их пересечения обозначена $$D$$. Найдите угол $$ADB$$, если:
1) угол $$A = 50^\circ$$, угол $$B = 100^\circ$$;
2) угол $$A = \text{альфа}$$, угол $$B = \text{бета}$$;
3) угол $$C = 130^\circ$$;
4) угол $$C = у$$.
Так как $$AD$$ и $$BD$$ — биссектрисы, то
$$\angle DAB=\frac12\angle A,\qquad \angle DBA=\frac12\angle B.$$
В треугольнике $$ADB$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит
$$\angle ADB=180^\circ-\angle DAB-\angle DBA=180^\circ-\frac12\angle A-\frac12\angle B.$$
Так как в треугольнике $$ABC$$
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$
то
$$\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C.$$
Подставим это в найденную формулу:
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(180^\circ-\angle C)=90^\circ+\frac12\angle C.$$
Теперь найдём угол $$\angle ADB$$ в каждом случае:
- если $$\angle A=50^\circ$$ и $$\angle B=100^\circ$$, то
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(50^\circ+100^\circ)=180^\circ-75^\circ=105^\circ;$$ - если $$\angle A=\alpha$$ и $$\angle B=\beta$$, то
$$\angle ADB=180^\circ-\frac12(\alpha+\beta);$$ - если $$\angle C=130^\circ$$, то
$$\angle ADB=90^\circ+\frac12\cdot130^\circ=155^\circ;$$ - если $$\angle C=\gamma$$, то
$$\angle ADB=90^\circ+\frac12\gamma.$$
Ответ: 1) $$105^\circ$$; 2) $$180^\circ-\frac12(\alpha+\beta)$$; 3) $$155^\circ$$; 4) $$90^\circ+\frac12\gamma$$.
