Упр.13.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Выразите сторону $$a$$ правильного вписанного многоугольника через радиус $$R$$ окружности и сторону $$b$$ правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
Обозначим через $$O$$ центр окружности. Тогда у правильного вписанного и правильного описанного многоугольников с одинаковым числом сторон центральные углы равны, а значит, можно рассмотреть соответствующие равнобедренные треугольники.
Пусть $$A_1B_1=a$$ — сторона вписанного многоугольника, а $$A_2B_2=b$$ — сторона описанного многоугольника. Опустим перпендикуляры $$OH_1\perp A_1B_1$$ и $$OH_2\perp A_2B_2$$.
Так как $$A_2B_2$$ — сторона правильного описанного многоугольника, то $$OH_2$$ является радиусом окружности, следовательно, $$OH_2=R$$.
В равнобедренном треугольнике $$OA_1B_1$$ высота $$OH_1$$ является также медианой, поэтому
$$A_1H_1=\frac{a}{2}.$$
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$OA_1H_1$$:
$$OH_1=\sqrt{OA_1^2-A_1H_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$
Прямоугольные треугольники $$OA_1H_1$$ и $$OA_2H_2$$ подобны, так как у них равны острые углы. Поэтому
$$\frac{A_1H_1}{OH_1}=\frac{A_2H_2}{OH_2}.$$
Но $$A_2H_2=\frac{b}{2}$$ и $$OH_2=R$$, значит
$$\frac{a/2}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}=\frac{b/2}{R}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$aR=b\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$
Возведём в квадрат:
$$a^2R^2=b^2\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right) =b^2R^2-\frac{a^2b^2}{4}.$$
Перенесём слагаемые с $$a^2$$ в одну сторону:
$$a^2R^2+\frac{a^2b^2}{4}=b^2R^2,$$
$$a^2\left(R^2+\frac{b^2}{4}\right)=b^2R^2.$$
Отсюда
$$a^2=\frac{4R^2b^2}{4R^2+b^2},$$
значит
$$a=\frac{2Rb}{\sqrt{4R^2+b^2}}.$$
Ответ
$$a=\frac{2Rb}{\sqrt{4R^2+b^2}}.$$
