Упр.12.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) $$a=2,\ b=3,\ c=4$$; 2) $$a=7,\ b=2,\ c=8$$; 3) $$a=4,\ b=5,\ c=7$$; 4) $$a=15,\ b=24,\ c=18$$; 5) $$a=23,\ b=17,\ c=39$$; 6) $$a=55,\ b=21,\ c=38$$.

Обозначим углы треугольника так, как на рисунке: $$\alpha$$ — против стороны $$a$$, $$\beta$$ — против стороны $$b$$, $$\gamma$$ — против стороны $$c$$.

1. Если $$a=2,\ b=3,\ c=4$$, то по теореме косинусов

   $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3^2+4^2-2^2}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{21}{24}=0{,}875,$$

   значит, $$\alpha \approx 29^\circ$$.

   По теореме синусов

   $$\sin \beta=\sin \alpha\cdot \frac{b}{a}\approx \sin 29^\circ\cdot \frac{3}{2}\approx 0{,}7272,$$

   откуда $$\beta \approx 47^\circ$$.

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-29^\circ-47^\circ\approx 104^\circ.$$

2. Если $$a=7,\ b=2,\ c=8$$, то

   $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2^2+8^2-7^2}{2\cdot 2\cdot 8}=\frac{31}{32}\approx 0{,}5938,$$

   значит, $$\alpha \approx 54^\circ$$.

   По теореме синусов

   $$\sin \beta=\sin \alpha\cdot \frac{b}{a}\approx \sin 54^\circ\cdot \frac{2}{7}\approx 0{,}2312,$$

   откуда $$\beta \approx 13^\circ$$.

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-54^\circ-13^\circ\approx 113^\circ.$$

3. Если $$a=4,\ b=5,\ c=7$$, то

   $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{58}{70}\approx 0{,}8285,$$

   значит, $$\alpha \approx 34^\circ$$.

   По теореме синусов

   $$\sin \beta=\sin \alpha\cdot \frac{b}{a}\approx \sin 34^\circ\cdot \frac{5}{4}\approx 0{,}6988,$$

   откуда $$\beta \approx 44^\circ$$.

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-34^\circ-44^\circ\approx 102^\circ.$$

4. Если $$a=15,\ b=24,\ c=18$$, то

   $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{24^2+18^2-15^2}{2\cdot 24\cdot 18}=\frac{675}{864}\approx 0{,}7813,$$

   значит, $$\alpha \approx 39^\circ$$.

   По теореме косинусов для угла $$\beta$$:

   $$\cos \beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{15^2+18^2-24^2}{2\cdot 15\cdot 18}=\frac{-27}{540}=-0{,}05,$$

   значит, $$\beta \approx 93^\circ$$.

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-39^\circ-93^\circ\approx 48^\circ.$$

5. Если $$a=23,\ b=17,\ c=39$$, то

   $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{17^2+39^2-23^2}{2\cdot 17\cdot 39}=\frac{1281}{1326}\approx 0{,}9660,$$

   значит, $$\alpha \approx 15^\circ$$.

   По теореме синусов

   $$\sin \beta=\sin \alpha\cdot \frac{b}{a}\approx \sin 15^\circ\cdot \frac{17}{23}\approx 0{,}1912,$$

   откуда $$\beta \approx 11^\circ$$.

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-15^\circ-11^\circ\approx 154^\circ.$$

6. Если $$a=55,\ b=21,\ c=38$$, то

   $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{21^2+38^2-55^2}{2\cdot 21\cdot 38}=\frac{-1140}{1596}\approx -0{,}7143,$$

   значит, $$\alpha \approx 136^\circ$$.

   По теореме синусов

   $$\sin \beta=\sin \alpha\cdot \frac{b}{a}\approx \sin 136^\circ\cdot \frac{21}{55}\approx 0{,}2652,$$

   откуда $$\beta \approx 15^\circ$$.

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-136^\circ-15^\circ\approx 29^\circ.$$

Ответ: 1) $$\alpha \approx 29^\circ,\ \beta \approx 47^\circ,\ \gamma \approx 104^\circ$$; 2) $$\alpha \approx 54^\circ,\ \beta \approx 13^\circ,\ \gamma \approx 113^\circ$$; 3) $$\alpha \approx 34^\circ,\ \beta \approx 44^\circ,\ \gamma \approx 102^\circ$$; 4) $$\alpha \approx 39^\circ,\ \beta \approx 93^\circ,\ \gamma \approx 48^\circ$$; 5) $$\alpha \approx 15^\circ,\ \beta \approx 11^\circ,\ \gamma \approx 154^\circ$$; 6) $$\alpha \approx 136^\circ,\ \beta \approx 15^\circ,\ \gamma \approx 29^\circ$$.