Упр.6.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от
меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей; P=56 см;
Найти: стороны прямоугольника;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный прямоугольник (BC > AB), O-точка
пересечения диагоналей, а точки M, M1, N, N1-основания перпен-
дикуляров, опущенных из точки O на стороны ABCD;
2) Пусть точка O отстоит от меньшей стороны на x см, тогда она отстоит
от большей стороны на (x+4) см: ON=ON1=x и OM=OM1=x+4;
3) ABCD-прямоугольник, значит: угол A = углу B = углу C=90°, AB=CD
и BC=AD;
4) В четырехугольнике ABNN1:
угол A = углу B = углу N = углу N1=90°, следовательно он является
прямоугольником, тогда AB=NN1=NO+ON1=x+x=2x;
5) В четырехугольнике BCM1 M:
угол B = углу C = углу M = углу M1=90°, следовательно он является
прямоугольником, тогда BC=MM1=M+OM1=2(x+4)=2x+8;
6) PABCD=2(AB+BC)=2(2x+2x+8)=4x+4x+16=8x+16;
8x+16=56 = > 8x=40, отсюда x=5;
7) AB=CD=2x=2•5=10 см и BC=AD=2x+8=2•5+8=18 см;
Ответ: 10 см; 18 см; 10 см; 18 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, причём $$BC>AB$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры на стороны прямоугольника и обозначим их основания через $$M,\,M_1,\,N,\,N_1$$.

Пусть расстояние от точки $$O$$ до меньшей стороны равно $$x$$ см. Тогда расстояние до большей стороны равно $$x+4$$ см. Значит,

$$ON=ON_1=x,\qquad OM=OM_1=x+4.$$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$, а также $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABNN_1$$. В нём все углы прямые, значит, это прямоугольник. Тогда его противоположные стороны равны:

$$AB=NN_1=NO+ON_1=x+x=2x.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BCM_1M$$. Он тоже является прямоугольником, поэтому

$$BC=MM_1=MO+OM_1=(x+4)+(x+4)=2x+8.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P=2(AB+BC)=2\bigl(2x+(2x+8)\bigr)=8x+16.$$

По условию $$P=56$$, значит

$$8x+16=56,$$
$$8x=40,$$
$$x=5.$$

Тогда