Упр.14.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 28. Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам альфа и бета.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=a$$, $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$.

По теореме о сумме углов треугольника:

$$\angle C=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Тогда

$$\sin \angle C=\sin\bigl(180^\circ-(\alpha+\beta)\bigr)=\sin(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C},$$

откуда

$$AC=\frac{\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot a.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\,AB\cdot AC\cdot \sin \angle A.$$

Подставим найденное значение $$AC$$:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot a \cdot \sin \alpha =\frac{a^2\sin \alpha \sin \beta}{2\sin(\alpha+\beta)}. $$