Упр.6.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна $$10\ \text{см}$$.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=10$$ см, а $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, причём $$BM=MC$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$\angle A=90^\circ$$. Тогда биссектриса делит этот угол пополам:

$$\angle BAM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Угол $$ABM$$ прямой, потому что $$AB\perp BC$$, а точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$, значит $$BM\subset BC$$. Следовательно,

$$\angle ABM=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle BMA=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, и его катеты равны:

$$BM=AB=10\text{ см}.$$

По условию $$BM=MC$$, значит

$$BC=BM+MC=10+10=20\text{ см}.$$

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $$AD=BC=20$$ см. Тогда периметр:

$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(10+20)=60\text{ см}.$$

Ответ: $$60$$ см.