Упр.3.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная
к основанию, является медианой и высотой;
Доказательство:
1) Пусть треугольник ABC-равнобедренный с основанием AC и
BD-биссектриса;
2) AB=BC (как боковые стороны) и угол ABD = углу DBC (так как BD-
биссектриса);
3) Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку (BD-общая
сторона), отсюда AD=DC и угол BDA = углу BDC;
4) AD=DC, значит BD является медианой треугольник ABC;
5) угол BDA = углу BDC=90° (так как они равные и смежные одновременно),
значит BD является высотой треугольник ABC, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, а $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$.

Тогда $$AB=BC$$ как боковые стороны равнобедренного треугольника, а также $$\angle ABD=\angle DBC$$, так как $$BD$$ — биссектриса.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:

• $$AB=BC$$,
• $$BD$$ — общая сторона,
• $$\angle ABD=\angle DBC$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем:

$$AD=DC$$, значит, $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Кроме того, $$\angle BDA=\angle BDC$$. Эти углы смежные, поэтому

$$\angle BDA+\angle BDC=180^\circ.$$

Так как они равны, то каждый из них равен $$90^\circ$$. Значит, $$BD\perp AC$$, то есть $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Итак, биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины к основанию, является и медианой, и высотой.

Ответ

$$BD$$ — медиана и высота.