Упр.3.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, а $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$.

Тогда $$AB=BC$$ как боковые стороны равнобедренного треугольника, а $$\angle ABD=\angle DBC$$, так как $$BD$$ — биссектриса.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:

• $$AB=BC$$;
• $$BD$$ — общая сторона;
• $$\angle ABD=\angle DBC$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда получаем:

$$AD=DC$$ и $$\angle BDA=\angle BDC$$.

Равенство $$AD=DC$$ означает, что $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Кроме того, точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle BDA$$ и $$\angle BDC$$ смежные. Они равны, значит каждый из них равен $$90^\circ$$.

Следовательно, $$BD \perp AC$$, то есть $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Итак, биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины к основанию, является и медианой, и высотой.