Упр.15.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны $$3\text{ см}$$ и $$7\text{ см}$$, а одна из диагоналей $$6\text{ см}$$; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна $$4\text{ см}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.
Обозначим вершину пирамиды через $$P$$, а основание — параллелограмм $$ABCD$$. Тогда $$AB=7$$ см, $$AD=3$$ см, одна из диагоналей равна $$6$$ см, а высота $$PO=4$$ см, где точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей основания.
Найдём вторую диагональ параллелограмма. По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
$$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2).$$
Пусть $$BD=6$$ см. Тогда
$$AC^2=2(7^2+3^2)-6^2=2(49+9)-36=116-36=80,$$
откуда
$$AC=\sqrt{80}=4\sqrt5 \text{ см}.$$
Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то
$$DO=\frac{BD}{2}=3 \text{ см}, \qquad AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt5 \text{ см}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$DOP$$ и $$AOP$$:
$$DP=\sqrt{DO^2+PO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \text{ см},$$
$$AP=\sqrt{AO^2+PO^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+4^2}=\sqrt{20+16}=\sqrt{36}=6 \text{ см}.$$
Следовательно, боковые рёбра пирамиды равны $$5$$ см и $$6$$ см.
Ответ: $$5$$ см и $$6$$ см.
