Упр.14.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите площадь треугольника по стороне $$a$$ и прилежащим к ней углам $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=a$$, $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$.

Тогда по теореме о сумме углов треугольника

$$\angle C=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \beta}=\frac{AB}{\sin \angle C},$$

откуда

$$AC=\frac{\sin \beta}{\sin \angle C}\cdot AB=\frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\,AB\cdot AC\cdot \sin \angle A =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \sin \alpha =\frac{a^2\sin \alpha \sin \beta}{2\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ: $$\frac{a^2\sin \alpha \sin \beta}{2\sin(\alpha+\beta)}$$.