Упр.13.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Выразите сторону $$b$$ правильного описанного многоугольника через радиус $$R$$ окружности и сторону $$a$$ правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
Пусть $$A_1B_1=a$$ — сторона правильного вписанного многоугольника, а $$A_2B_2=b$$ — сторона правильного описанного многоугольника. Обозначим центр окружности через $$O$$.
Так как многоугольники правильные и имеют одинаковое число сторон, их центральные углы равны. Опустим перпендикуляры $$OH_1 \perp A_1B_1$$ и $$OH_2 \perp A_2B_2$$.
В треугольнике $$OA_1B_1$$ имеем $$OA_1=OB_1=R$$, поэтому он равнобедренный, а высота $$OH_1$$ делит основание пополам:
$$A_1H_1=\frac{a}{2}.$$
Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$OA_1H_1$$:
$$OH_1=\sqrt{OA_1^2-A_1H_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$
Для описанного многоугольника сторона $$A_2B_2$$ является касательной к окружности, значит $$OH_2=R$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OA_1H_1$$ и $$OA_2H_2$$. Они подобны, так как имеют равные острые углы. Поэтому
$$\frac{A_1H_1}{OH_1}=\frac{A_2H_2}{OH_2}.$$
Отсюда
$$A_2H_2=\frac{OH_2\cdot A_1H_1}{OH_1} =\frac{R\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}.$$
Так как $$b=A_2B_2=2A_2H_2$$, получаем
$$b=2\cdot \frac{R\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{aR}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{2aR}{\sqrt{4R^2-a^2}}.$$
Ответ
$$b=\frac{2aR}{\sqrt{4R^2-a^2}}.$$
