Упр.7.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A
меньше полусуммы сторон AB и AC;
Доказательство:
1) Пусть AM-медиана, проведенная из вершины A, тогда: BM=MC;
2) На полупрямой AM построим отрезок MD=AM;
3) Рассмотрим треугольники ABM и DCM:
MD=AM, BM=MC и угол BMA = углу CMD (как вертикальные), значит
треугольник ABM=треугольник DCM (по первому признаку), отсюда DC=AB;
4) В треугольнике ADC по неравенству треугольника: AD < AC+DC;
5) Так как DC=AB, то: AD < AC+AB;
6) Разделим обе части неравенства на 2: AD/2 < (AC+AB)/2;
7) Так как AM=AD/2, то: AM < (AC+AB)/2, что и требовалось доказать.
Пусть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, проведённая из вершины $$A$$. Тогда $$BM=MC$$.
На продолжении луча $$AM$$ за точку $$M$$ отложим отрезок $$MD=AM$$.
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$DCM$$. Имеем:
- $$AM=MD$$;
- $$BM=MC$$;
- $$\angle BMA=\angle CMD$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle DCM$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда $$AB=DC$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. По неравенству треугольника
$$AD<AC+DC.$$
Так как $$DC=AB$$, получаем
$$AD<AC+AB.$$
Разделим обе части неравенства на $$2$$:
$$\frac{AD}{2}<\frac{AC+AB}{2}.$$
Но $$AM=\frac{AD}{2}$$, значит
$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$
