Упр.4.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 27. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника ABC, если угол ADC равен: 1) 60°; 2) 75°; 3) альфа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 pogorelov7-9 4-27 76

Обозначим $$\angle ADC=\alpha.$$ Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла при вершине $$C$$, имеем

$$\angle DCA=\frac{1}{2}\angle BCA.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$:

$$\angle CAD+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ.$$

Но $$\angle CAD=\angle BAC$$, поэтому

$$\angle BAC+\alpha+\frac{1}{2}\angle BCA=180^\circ.$$

Так как $$\angle BAC=\angle BCA$$, получаем

$$\frac{3}{2}\angle BAC=180^\circ-\alpha,$$

откуда

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{2}{3}(180^\circ-\alpha)=120^\circ-\frac{2}{3}\alpha.$$

Тогда

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle BAC=180^\circ-2\left(120^\circ-\frac{2}{3}\alpha\right)=\frac{4}{3}\alpha-60^\circ.$$

Теперь подставим значения.

1) Если $$\alpha=60^\circ$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac{2}{3}\cdot 60^\circ=80^\circ,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 80^\circ=20^\circ.$$

2) Если $$\alpha=75^\circ$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac{2}{3}\cdot 75^\circ=70^\circ,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 70^\circ=40^\circ.$$

3) Если $$\alpha$$ — произвольный угол, то

$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac{2}{3}\alpha,$$

$$\angle ABC=\frac{4}{3}\alpha-60^\circ.$$

Ответ

1) $$80^\circ,\ 80^\circ,\ 20^\circ$$; 2) $$70^\circ,\ 70^\circ,\ 40^\circ$$; 3) $$120^\circ-\frac{2}{3}\alpha,\ 120^\circ-\frac{2}{3}\alpha,\ \frac{4}{3}\alpha-60^\circ$$.