Упр.13.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: сторона правильного многоугольника равна a, а радиус вписанной
окружности равен r;
Найти: радиус R вписанной окружности;
Решение:
1) Пусть AB-сторона данного многоугольника, а O-его центр, тогда:
AB=a и OA=OB=R;
2) Из точки O опустим перпендикуляр OH на сторону AB, тогда;
3) Так как O-центр многоугольника и AB перпендикулярен OH, то по свойству радиуса
и касательной OH является радиусом вписанной окружности: OH=r;
4) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB, значит у него
высота OH является и медианой, тогда: AH=1/2 AB=a/2;
5) В прямоугольном треугольнике AHO по теореме Пифагора.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — сторона правильного многоугольника, $$O$$ — его центр. Тогда $$AB=a$$, а $$OA=OB=R$$.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Так как $$O$$ — центр правильного многоугольника, то $$OH$$ является радиусом вписанной окружности, значит $$OH=r$$.

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому высота $$OH$$ к основанию $$AB$$ является также медианой. Следовательно,

$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHO$$. По теореме Пифагора:

$$ R=OA=\sqrt{OH^2+AH^2} =\sqrt{r^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}. $$