Упр.5.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Разделите угол на четыре равные части.

Подробный ответ

Пусть дан угол с вершиной $$O$$. Сначала построим его биссектрису.

1) Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса, она пересечёт стороны угла в точках $$A$$ и $$B$$.

2) Из точек $$A$$ и $$B$$ тем же радиусом проводим окружности. Пусть они пересекутся в точке $$D$$.

3) Соединяем $$O$$ и $$D$$. Тогда $$OD$$ — биссектриса угла $$AOB$$, то есть

$$\angle AOD=\angle DOB.$$

Теперь разделим каждый из этих равных углов пополам.

4) Из точек $$A$$ и $$D$$ проводим окружности того же радиуса. Пусть они пересекутся в точке $$E$$. Тогда $$OE$$ — биссектриса угла $$AOD$$, значит

$$\angle AOE=\angle EOD.$$

5) Аналогично из точек $$D$$ и $$B$$ проводим окружности того же радиуса. Пусть они пересекутся в точке $$F$$. Тогда $$OF$$ — биссектриса угла $$DOB$$, значит

$$\angle DOF=\angle FOB.$$

Следовательно, угол разделён на четыре равные части:

$$\angle AOE=\angle EOD=\angle DOF=\angle FOB.$$