Упр.4.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$CD$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$, если угол $$ADC$$ равен: 1) $$60^\circ$$; 2) $$75^\circ$$; 3) $$\alpha$$.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Пусть $$\angle ADC=\alpha$$. Тогда в треугольнике $$ADC$$:

$$\angle CAD+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ.$$

Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла при вершине $$C$$, имеем

$$\angle DCA=\frac12\angle BCA=\frac12\angle BAC.$$

Кроме того, $$\angle CAD=\angle BAC$$, значит

$$\angle BAC+\alpha+\frac12\angle BAC=180^\circ,$$

$$\frac32\angle BAC=180^\circ-\alpha,$$

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac23(180^\circ-\alpha)=120^\circ-\frac23\alpha.$$

Тогда

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle BAC,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\left(120^\circ-\frac23\alpha\right)=\frac43\alpha-60^\circ.$$

Теперь подставим значения.

1) При $$\alpha=60^\circ$$:

$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac23\cdot 60^\circ=80^\circ,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 80^\circ=20^\circ.$$

2) При $$\alpha=75^\circ$$:

$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac23\cdot 75^\circ=70^\circ,$$

$$\angle ABC=180^\circ-2\cdot 70^\circ=40^\circ.$$

3) При $$\alpha$$:

$$\angle BAC=\angle BCA=120^\circ-\frac23\alpha,$$

$$\angle ABC=\frac43\alpha-60^\circ.$$

Ответ: 1) $$80^\circ,\,80^\circ,\,20^\circ$$; 2) $$70^\circ,\,70^\circ,\,40^\circ$$; 3) $$120^\circ-\frac23\alpha,\ 120^\circ-\frac23\alpha,\ \frac43\alpha-60^\circ$$.