Упр.15.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды равно $$13\ \text{см}$$. Вычислите высоту пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$P$$, а основание — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB=8\text{ см}$$, $$AD=6\text{ см}$$. По условию $$PA=PB=PC=PD=13\text{ см}$$.

Найдём диагональ основания:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Так как $$PA=PB=PC=PD$$, то точка $$O$$ — центр основания — равноудалена от всех вершин прямоугольника. Следовательно, $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$ и является её серединой, значит

$$DO=\frac{1}{2}BD=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$POD$$ угол при $$O$$ прямой, поэтому по теореме Пифагора:

$$PO=\sqrt{PD^2-DO^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Высота пирамиды равна $$PO$$, значит

Ответ: $$12\text{ см}$$.