Упр.12.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны две стороны и угол между ними, а) найдите остальные два угла и третью сторону, если:

1. $$a=12,\ b=8,\ \gamma=60^\circ$$;
2. $$a=7,\ b=23,\ \gamma=130^\circ$$;
3. $$a=9,\ c=17,\ \alpha=95^\circ$$;
4. $$b=14,\ c=10,\ \alpha=145^\circ$$;
5. $$a=32,\ c=23,\ \beta=152^\circ$$;
6. $$a=24,\ c=18,\ \beta=15^\circ$$.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны, а затем теорему синусов и сумму углов треугольника.

1)

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}=\sqrt{12^2+8^2-2\cdot12\cdot8\cdot\cos60^\circ}$$

$$c=\sqrt{144+64-192\cdot0{,}5}=\sqrt{112}\approx10{,}6$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma},\qquad \sin\alpha=\sin60^\circ\cdot\frac{12}{10{,}6}\approx0{,}98$$

Значит, $$\alpha\approx79^\circ.$$

Тогда

$$\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-79^\circ-60^\circ\approx41^\circ.$$

2)

$$c=\sqrt{7^2+23^2-2\cdot7\cdot23\cdot\cos130^\circ}$$

$$c=\sqrt{49+529-322\cdot(-0{,}6428)}=\sqrt{785}\approx28$$

По теореме синусов:

$$\sin\alpha=\sin130^\circ\cdot\frac{7}{28}\approx0{,}19$$

Значит, $$\alpha\approx11^\circ.$$

Тогда

$$\beta=180^\circ-130^\circ-11^\circ\approx39^\circ.$$

3)

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}=\sqrt{9^2+17^2-2\cdot9\cdot17\cdot\cos95^\circ}$$

$$a=\sqrt{81+289-306\cdot(-0{,}0871)}=\sqrt{396{,}7}\approx19{,}9$$

По теореме синусов:

$$\sin\beta=\sin95^\circ\cdot\frac{9}{19{,}9}\approx0{,}45$$

Значит, $$\beta\approx27^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-95^\circ-27^\circ\approx58^\circ.$$

4)

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}=\sqrt{14^2+10^2-2\cdot14\cdot10\cdot\cos145^\circ}$$

$$a=\sqrt{196+100-280\cdot(-0{,}8191)}=\sqrt{525{,}3}\approx22{,}9$$

По теореме синусов:

$$\sin\beta=\sin145^\circ\cdot\frac{14}{22{,}9}\approx0{,}35$$

Значит, $$\beta\approx21^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-145^\circ-21^\circ\approx14^\circ.$$

5)

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}=\sqrt{32^2+23^2-2\cdot32\cdot23\cdot\cos152^\circ}$$

$$b=\sqrt{1024+529-1472\cdot(-0{,}8829)}=\sqrt{2853}\approx53{,}4$$

По теореме синусов:

$$\sin\alpha=\sin152^\circ\cdot\frac{32}{53{,}4}\approx0{,}28$$

Значит, $$\alpha\approx16^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-152^\circ-16^\circ\approx12^\circ.$$

6)

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}=\sqrt{24^2+18^2-2\cdot24\cdot18\cdot\cos15^\circ}$$

$$b=\sqrt{576+324-864\cdot0{,}9659}=\sqrt{65{,}5}\approx8{,}1$$

По теореме синусов:

$$\sin\gamma=\sin15^\circ\cdot\frac{18}{8{,}1}\approx0{,}58$$

Значит, $$\gamma\approx35^\circ.$$

Тогда

$$\alpha=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx130^\circ.$$

Ответ

1) $$c\approx10{,}6,\ \alpha\approx79^\circ,\ \beta\approx41^\circ.$$
2) $$c\approx28,\ \alpha\approx11^\circ,\ \beta\approx39^\circ.$$
3) $$a\approx19{,}9,\ \beta\approx27^\circ,\ \gamma\approx58^\circ.$$
4) $$a\approx22{,}9,\ \beta\approx21^\circ,\ \gamma\approx14^\circ.$$
5) $$b\approx53{,}4,\ \alpha\approx16^\circ,\ \gamma\approx12^\circ.$$
6) $$b\approx8{,}1,\ \alpha\approx130^\circ,\ \gamma\approx35^\circ.$$