Упр.11.27 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите высоту треугольника $$AED$$ из задачи 26, опущенную на сторону $$AD$$, если $$BC=7\text{ см}$$, $$AD=21\text{ см}$$ и высота трапеции равна $$3\text{ см}$$.

Обозначим через $$H_1$$ основание высоты трапеции $$ABCD$$, а через $$H$$ — основание высоты треугольника $$AED$$, опущенной на $$AD$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные при секущей $$AE$$. Кроме того, $$\angle DEA = \angle BEC$$ как общий угол. Значит,

$$\triangle AED \sim \triangle BEC.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}=\frac{21}{7}=3.$$

Но $$AE=AB+BE$$, поэтому

$$\frac{AB+BE}{BE}=3,$$

откуда

$$\frac{AB}{BE}=2,\qquad \frac{BE}{AB}=\frac12.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$AHE$$ и $$AH_1B$$. Они подобны, так как имеют общий острый угол при $$A$$.

Тогда

$$\frac{EH}{BH_1}=\frac{AE}{AB}=1+\frac{BE}{AB}=1+\frac12=\frac32.$$

Так как высота трапеции $$BH_1=3$$ см, то

$$EH=3\cdot \frac32=4{,}5\text{ см}.$$

Ответ: $$4{,}5$$ см.