Вопрос 26 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — перпендикулярные векторы. Тогда угол между ними равен $$90^\circ$$, значит

$$\cos 90^\circ=0.$$

По формуле скалярного произведения

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos \varphi,$$

где $$\varphi$$ — угол между векторами. Следовательно,

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cdot 0=0.$$

Обратно: пусть $$\vec a\cdot \vec b=0$$ и векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не равны нулю. Тогда

$$|\vec a|\,|\vec b|\cos \varphi=0.$$

Так как $$|\vec a|\neq 0$$ и $$|\vec b|\neq 0$$, то

$$\cos \varphi=0.$$

Отсюда $$\varphi=90^\circ$$, значит, векторы перпендикулярны.