Упр.6.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, у которого $$AC=BD$$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$BAD$$. У них

$$AB=BA,\quad BC=AD,\quad AC=BD.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle BAD$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle A=\angle B.$$

Но в параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому

$$\angle A=\angle C,\quad \angle B=\angle D.$$

Значит,

$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D.$$

Все углы параллелограмма равны, следовательно, каждый из них равен $$90^\circ$$. Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.