Упр.3.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: медианы равнобедренных треугольников собщим основнаием
лежат на одной прямой;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 BC-данные равнобедренные треугольники с общим
основанием;
2) Медианы, проведенные к основанию этих треугольников, будут иметь
общую точку M-середину отрезка BC;
3) Так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к
основанию, является его высотой, то отрезки AM и A1 M будут лежать
на прямой, перпендикулярной прямой BC, проходящей через точку M;
4) Через любую точку прямой можно провести только одну перпенди-
кулярную ей прямую, значит отрезки AM и A1 M лежат на одной прямой,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ и $$A_1BC$$ — данные равнобедренные треугольники с общим основанием $$BC$$. Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$BC$$. Тогда $$BM=MC$$, а отрезки $$AM$$ и $$A_1M$$ являются медианами, проведёнными к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Значит, $$AM \perp BC$$ и $$A_1M \perp BC$$.

Через точку $$M$$ к прямой $$BC$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую. Следовательно, прямые $$AM$$ и $$A_1M$$ совпадают, то есть точки $$A$$, $$M$$ и $$A_1$$ лежат на одной прямой.

Значит, медианы равнобедренных треугольников, проведённые к общему основанию, лежат на одной прямой.