Упр.4.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен $$60^\circ$$, то этот треугольник равносторонний.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник. Тогда у него равны углы при основании.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если угол при основании равен $$60^\circ$$, то второй угол при основании тоже равен $$60^\circ$$. Тогда третий угол:

   $$180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

2. Если угол между боковыми сторонами равен $$60^\circ$$, а углы при основании равны $$x$$, то

   $$60^\circ+x+x=180^\circ,$$

   откуда

   $$2x=120^\circ,\qquad x=60^\circ.$$

Во всех случаях все углы треугольника равны $$60^\circ$$. Значит, все его стороны равны, то есть треугольник равносторонний.

Ответ

Треугольник равносторонний.