Упр.15.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Диагонали трёх граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны $$a$$, $$b$$, $$c$$. Найдите линейные размеры параллелепипеда.

Пусть линейные размеры прямоугольного параллелепипеда равны $$x,\ y,\ z.$$ Обозначим диагонали трёх граней, сходящихся в одной вершине, через $$a,\ b,\ c.$$ Тогда по теореме Пифагора для соответствующих прямоугольных треугольников получаем:

$$a^2=y^2+z^2,$$
$$b^2=x^2+y^2,$$
$$c^2=x^2+z^2.$$

Сложим первое и второе равенства и вычтем третье:

$$a^2+b^2-c^2=(y^2+z^2)+(x^2+y^2)-(x^2+z^2)=2y^2,$$

откуда

$$y=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$

Аналогично:

$$a^2+c^2-b^2=(y^2+z^2)+(x^2+z^2)-(x^2+y^2)=2z^2,$$

значит

$$z=\sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}.$$

И, наконец,

$$b^2+c^2-a^2=(x^2+y^2)+(x^2+z^2)-(y^2+z^2)=2x^2,$$

следовательно

$$x=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}.$$

Итак, линейные размеры параллелепипеда:

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}},\ \sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}},\ \sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}.$$