Упр.13.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сторона правильного многоугольника равна $$a$$, а радиус описанной окружности $$R$$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть $$AB$$ — сторона правильного многоугольника, $$O$$ — центр описанной окружности. Тогда $$AB=a$$, $$OA=OB=R$$.

Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Так как в правильном многоугольнике центр лежит на перпендикуляре, проведённом к стороне через её середину, то $$H$$ — середина стороны $$AB$$, значит

$$AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$$

Отрезок $$OH$$ является радиусом вписанной окружности, то есть $$OH=r$$. В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:

$$r=OH=\sqrt{AO^2-AH^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$

Ответ

$$r=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}$$