Упр.11.26 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Продолжения боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$. Найдите стороны треугольника $$AED$$, если $$AB=5\ \text{см}$$, $$BC=10\ \text{см}$$, $$CD=6\ \text{см}$$, $$AD=15\ \text{см}$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то при секущей $$AE$$ углы $$\angle DAE$$ и $$\angle CBE$$ равны как соответственные. Кроме того, $$\angle DEA = \angle BEC$$ как вертикальные. Значит, $$\triangle AED \sim \triangle BEC$$.

Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$

Так как точки $$A, B, E$$ лежат на одной прямой, то

$$BE=AE-AB=AE-5.$$

Тогда

$$\frac{AE-5}{AE}=\frac{2}{3},$$

$$3(AE-5)=2AE,$$

$$3AE-15=2AE,$$

$$AE=15\text{ см}.$$

Следовательно,

$$BE=15-5=10\text{ см}.$$

Теперь найдём $$CE$$. Из подобия треугольников $$AED$$ и $$BEC$$:

$$\frac{CE}{BE}=\frac{CD}{AB}=\frac{6}{5},$$

откуда

$$CE=\frac{6\cdot 10}{5}=12\text{ см}.$$

Тогда

$$DE=CE+CD=12+6=18\text{ см}.$$

Ответ: $$AE=15\text{ см},\ DE=18\text{ см}.$$