Вопрос 25 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — данные векторы, а $$\varphi$$ — угол между ними.

Рассмотрим систему координат так, чтобы вектор $$\vec a$$ был направлен вдоль оси $$Ox$$, а начало координат совпадало с началом векторов. Тогда

$$\vec a=(|\vec a|,\,0),$$

а координаты вектора $$\vec b$$ равны

$$\vec b=(|\vec b|\cos\varphi,\,|\vec b|\sin\varphi).$$

По формуле скалярного произведения координатных векторов имеем

$$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2.$$

Подставим найденные координаты:

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi+0\cdot|\vec b|\sin\varphi=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.$$

Следовательно, скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними:

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.$$