Упр.13.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 26. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{10}$$ — правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Тогда вершины $$A_1, A_3, A_5, A_7, A_9$$ образуют правильный пятиугольник.
Обозначим сторону десятиугольника через $$a_{10}$$, а сторону пятиугольника — через $$a_5$$.
Найдём сторону правильного десятиугольника. Центральный угол равен
$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$
В равнобедренном треугольнике $$A_1OA_2$$ по теореме косинусов:
$$ a_{10}^2=OA_1^2+OA_2^2-2\cdot OA_1\cdot OA_2\cos 36^\circ $$
$$ a_{10}^2=R^2+R^2-2R^2\cos 36^\circ=2R^2(1-\cos 36^\circ). $$
Используем известное значение
$$\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$
Тогда
$$ a_{10}^2=2R^2\left(1-\frac{1+\sqrt5}{4}\right) =2R^2\cdot \frac{3-\sqrt5}{4} =R^2\cdot \frac{3-\sqrt5}{2}. $$
Следовательно,
$$a_{10}=R\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}}=\frac{R(\sqrt5-1)}{2}.$$
Теперь найдём сторону правильного пятиугольника. Его сторона — это хорда, стягивающая центральный угол
$$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.$$
По теореме косинусов в соответствующем равнобедренном треугольнике:
$$ a_5^2=R^2+R^2-2R^2\cos 72^\circ=2R^2(1-\cos 72^\circ). $$
Так как $$\cos 72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4},$$ то
$$ a_5^2=2R^2\left(1-\frac{\sqrt5-1}{4}\right) =2R^2\cdot \frac{5-\sqrt5}{4} =R^2\cdot \frac{5-\sqrt5}{2}. $$
Значит,
$$a_5=R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$
Ответ
$$a_{10}=\frac{R(\sqrt5-1)}{2},\qquad a_5=R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$
