Упр.3.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, если у него: 1) медиана $$BD$$ является высотой; 2) высота $$BD$$ является биссектрисой; 3) биссектриса $$BD$$ является медианой.

Подробный ответ

1) Если $$BD$$ — медиана и высота, то $$AD=DC$$ и $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$. Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$: у них $$BD$$ — общая сторона, $$AD=DC$$, а углы между этими сторонами равны. Значит, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AB=BC$$, следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

2) Если $$BD$$ — высота и биссектриса, то $$\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$$ и $$\angle ABD=\angle CBD$$. В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$ сторона $$BD$$ общая, значит $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, $$AB=BC$$, то есть $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

3) Если $$BD$$ — биссектриса и медиана, то $$AD=DC$$ и $$\angle ABD=\angle CBD$$. На прямой $$BD$$ отложим отрезок $$DB_1=BD$$. Тогда $$\angle CDB=\angle ADB_1$$ как вертикальные, а также $$BD=DB_1$$ и $$DC=DA$$. Значит, $$\triangle CDB \cong \triangle ADB_1$$ по двум сторонам и углу между ними, откуда $$BC=AB_1$$ и $$\angle DBC=\angle DB_1A$$. В треугольнике $$BAB_1$$ углы при основании равны, поэтому $$AB=AB_1$$. Тогда $$AB=BC$$, следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.